Seitenkommensurable Dreiecke Schreibweise: SKD == seitenkommensurables Dreieck SKDs == Plural von SKD 1. Definition: Ein SKD ist ein Dreieck, dessen Seitenl`angen jeweils ein Vielfaches einer gemeinsamen Ma`seinheit sind. 2. Satz: SKDs sind genau die Dreiecke, bei denen die Seitenl`angen zueinander jeweils in einem rationalen Verh`altnis stehen, d.h. sie k`onnen als rationales Vielfaches einer Grundeinheit angegeben werden. Beweis: 1. Von links nach rechts: Trivial. 2. Von rechts nach links: Seien die Seitenl`angen dargestellt durch die Br`uche nat`urlicher Zahlen a = a1/a2 b = b1/b2 c = c1/c2 -> a = (a1*b2*c2) * (1/(a2*b2*c2)) b = (a2*b1*c2) * (1/(a2*b2*c2)) c = (a2*b2*c1) * (1/(a2*b2*c2)) -> alle Seiten sind ganzzahlige Vielfache der Einheit (1/(a2*b2*c2)), und somit das Dreieck ein SKD. 3. Satz: Es gibt kein gleichschenklig rechtwinkliges SKD. Beweis: Sei c die Hypothenuse und a eine Kathete eines rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecks; dann ist nach Pythagoras c^2 = 2*a^2 -> c = sqrt(2) * a -> a und c stehen zueinander in einem irrationalen Verh`altnis -> das Dreieck ist kein SKD (wegen 2.). 4. Satz: Die Kosinuswerte der Winkel von SKDs sind rational. Beweis: Nach dem Kosinussatz gilt a^2 = b^2 + c^2 -2*b*c*cos(alpha) -> cos(alpha) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2*b*c) -> cos(alpha) rational. Entsprechendes gilt f`ur die anderen Winkel. 5. Problem: Gibt es f`ur jede rationale Zahl r in [-1,1] ein SKD, das einen Winkel hat, dessen Kosinus = r ist? F`ur welche r gibt es gegebenenfalls keine? L`osungsansatz: Gem`a`s 2. und dem Beweis von 4. l`a`st sich das Problem auf die Frage nach den L`osungen (a,b,c) der Gleichung r = (b^2 + c^2 - a^2) / (2*b*c) mit r rational in [-1,1]; a, b, c nat`urliche zahlen, die Seitenl`angen eines Dreiecks sein k`onnen reduzieren (diophantische Gleichung). Oder geht es einfacher?