Wurzeln aus Zahlen mit einfacher Primfaktorzerlegung sind i.a. irrrational

Schreibweisen:
z^(1/n) == n-te positive Wurzel aus z
a | b == a ist Teiler von b

Definition:
Eine Zahl hat eine einfache Primfaktorzerlegung, wenn in deren kanonischer
Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor h`ochstens einmal vorkommt.

Lemma:
Ist eine Zahl mit einfacher Primfaktorzerlegung Teiler einer Potenz, so auch
Teiler von deren Basis.
Formal:
Seien a und n nat`urliche Zahlen und p eine Zahl mit einfacher
Primfaktorzerlegung mit p | a^n -> p | a

Beweis:
Wird a in Primfaktoren zerlegt, so entsteht auf dieser Basis eine
Darstellung von a^n mit den Primfaktoren von a; andererseits besteht p nach
Voraussetzung aus in a^n enthaltenen einzelnen Primfaktoren. Somit besteht p
aus einzelnen in a enthaltenen Primfaktoren, da die Primfaktorzerlegung von
a^n eindeutig ist. Daher ist p Teiler von a.

Satz:
Wurzeln aus Zahlen mit einfacher Primfaktorzerlegung sind i.a. irrrational.
Formal:

Sei p eine nat`urliche Zahl mit einfacher Primfaktorzerlegung >= 2 und n
eine nat`urliche Zahl >= 2
-> p^(1/n) irrational.

Beweis:
Angenommen, p^(1/n) ist rational
-> es gibt nat`urliche und teilerfremde Zahlen a und b mit p^(1/n) = (a/b)
-> p = (a^n)/(b^n) 
-> g: p*(b^n) = a^n
-> p | a^n
-> e1: p | a (wegen lemma)
-> es gibt eine nat`urliche zahl z mit p*z = a
-> (p*z)^n = (p^n)*(z*n) = a^n
-> (p^n)*(z^n) = p*(b^n) (wegen g)
-> (p^(n - 1))*(z^n) = b^n
-> p | b^n
-> e2: p | b (wegen Lemma)
-> e1 und e2 ergeben einen Widerspruch zur Teilerfremdheit von a und b
-> p^(1/n) irrational.

Korrolar:
Rationale Vielfache von Wurzeln aus Zahlen mit einfacher Primfaktorzerlegung
sind i.a. irrational.

Beweis:

S.o. und den Umstand, dass das Produkt aus einer irrationalen und einer
Rationalen Zahl i.a. irrational ist.